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- 数学课件PPT
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这是一个关于斐波那契数列与黄金分割课件PPT模板，这节课主要是了解兔子问题和斐波那契数列，黄金分割的定义以及黄金分割的美，人体各部分的比，著名建筑物中各部分的比，了解黄金分割点的再生性和“折纸法”等等介绍。斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，欢迎点击下载斐波那契数列与黄金分割课件PPT模板哦。
斐波那契数列与黄金分割课件PPT模板是由红软PPT免费下载网推荐的一款数学课件PPT类型的PowerPoint.
第三节 斐波那契数列与黄金分割
我们先来做一个游戏！
十秒钟加数
请用十秒，计算出左边一列数的和。
十秒钟加数
再来一次！
这与“斐波那契数列”有关
若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：
一、兔子问题和斐波那契数列
1． 兔子问题
1） 问题
——取自意大利数学家
斐波那契的《算盘书》
（1202年）
(L.Fibonacci，1170-1250）
兔子问题
解答
1 月 1 对
解答
1 月 1 对
解答
1 月 1 对
解答
1 月 1 对
解答
1 月 1 对
解答
1 月 1 对
解答
1 月 1 对
解答
可以将结果以列表形式给出：
规律
兔子问题的另外一种提法：
第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二个月时，共有多少对兔子？
月 份 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ
大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
到十二月时有大兔子144对，小兔子89对，共有兔子144+89=233对。
2． 斐波那契数列
1） 公式
用 表示第 个月大兔子的对数，则有二阶递推公式
2） 斐波那契数列
令n = 1， 2， 3，… 依次写出数列，就是
1，1，2，3，5，8，13，21，34，
55，89，144，233，377，…
这就是斐波那契数列。其中的任一个
数，都叫斐波那契数。
[思]：请构造一个3阶递推公式。
二、 相关的问题
斐波那契数列是从兔子问题中抽象出
来的，如果它在其它方面没有应用，它就
不会有强大的生命力。发人深省的是，斐
波那契数列确实在许多问题中出现。
1． 跳格游戏
如图，一个人站在“梯子格”的起点处向上跳，从格外只能进入第1格，从格中，每次可向上跳一格或两格，问：可以用多少种方法，跳到第n格？
解：设跳到第n格的方法有 种。
由于他跳入第1格，只有一种方法；跳入第2格，必须先跳入第1格，所以也只有一种方法，从而
而能一次跳入第n格的，只有第
和第 两格，因此，跳入第 格的方法
数，是跳入第 格的方法数 ，加上跳入
第 格的方法数 之和。
即 。综合得递推公式
容易算出，跳格数列 就是斐波那契数列
1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
2． 连分数
这不是一个普通的分数，而是一个分
母上有无穷多个“1”的繁分数，我们通常
称这样的分数为“连分数”。
上述连分数可以看作是 中，把 的表达式反复代入等号右端得到的；例如，第一次代入得到的是
反复迭代，就得到上述连分数。
上述这一全部由1构成的连分数， 是最简单的一个连分数。
通常，求连分数的值，如同求无理数的值一样，我们常常需要求它的近似值。
如果把该连分数从第 条分数线截住，即把第 条分数线上、下的部分都删去，就得到该连分数的第 次近似值，记作 。
对照 可算得
发现规律后可以改一种方法算，
例如
顺序排起来，这个连分数的近似值逐次为
3． 黄金矩形
1） 定义：一个矩形，如果从中裁去
一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长
之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与
原矩形相似），则称具有这种宽与长之比
的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述
方法无限地分割下去。
2） 试求黄金矩形的宽与长之比（也称为黄金比）
解：设黄金比为 ，则有
将 变形为 ，解
得 ，其正根为 。
3） 与斐波那契数列的联系
为讨论黄金矩形与斐波那契数列的联系，我们
把黄金比化为连分数，去求黄金比的近似值。化
连分数时，沿用刚才“迭代”的思路：
反复迭代，得
它竟然与我们在上段中研究的连分数
一样！因此，黄金比的近似值写成分数表
达的数列，也是，
其分子、分母都由斐波那契数列构成。并
且，这一数列的极限就是黄金比 。
三、 黄金分割
1． 定义：把任一线段分割成两段，
使 ，这样的分割叫黄金分割，
这样的比值叫黄金比。（可以有两个分割点）
1
2． 求黄金比
解：设黄金比为 ，不妨设全段长为
1，则大段= ，小段= 。
故有 ，
解得 ，其正根为
A B
3． 黄金分割的尺规作图
设线段为 。作 ，且
，连 。作 交 于 ，
再作 交 于 ，则 ， 即
为 的黄金分割点。
证：不妨令 ，则 ，
， ，
证完。
4. 黄金分割的美
黄金分割之所以称为“黄金”分割，是
比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金
比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术
门类中审美的因素之一。认为它表现了恰
到好处的“合谐”。
例如:
1） 人体各部分的比
肚 脐 ： （头—脚）
印堂穴： （口—头顶）
肘关节： （肩—中指尖）
膝 盖： （髋关节—足尖）
2） 著名建筑物中各部分的比
如埃及的金字塔，高（137米）与底边长（227米）之比为0.629古希腊的巴特农神殿，塔高与工作厅高之比为340∶553≈0.615
3） 美观矩形的
宽长比
如国旗和其它用到矩形的地方（建筑、家具）
4） 风景照片中，
地平线位置的安排
5） 正五角星中的比
6） 舞台报幕者
的最佳站位
在整个舞台宽度的0.618处较美
7） 小说、戏剧的
高潮出现
在整个作品的0.618处较好
四、 优选法
1． 华罗庚的优选法（“0.618法”）
二十世纪六十年代，华罗庚创造了并
证明了优选法，还用很大的精力去推广优
选法。
“优选法”，即对某类单因素问题，用
最少的试验次数找到“最佳点”的方法。
例如，炼钢时要掺入某种化学元素加大钢
的强度，掺入多少最合适？假定已经知道每吨钢加入该化学元素的数量大约应在1000克到2000克之间，现求最佳加入量，误差不得超过1克。最“笨”的方法是分别加入100克，1002克，…，1000克，做1千次试验，就能发现最佳方案。
表面上看来，似乎这就是最好的方
法。但华罗庚证明了，每次取中点的试验
方法并不是最好的方法；每次取试验区间
的0.618处去做试验的方法，才是最好
的，称之为“优选法”或“0.618法”。
华罗庚证明了，这可以用较少的试验
次数，较快地逼近最佳方案。
2． 黄金分割点的再生性和“折纸法”
① 黄金分割点的再生性
即： 如果是 的黄金分割点， 是 的
黄金分割点， 与 当然关于中点 对称。
特殊的是， 又恰是 的黄金分割点。同样，
如果 是 的黄金分割点，则 又恰是
的黄金分割点，等等，一直延续下去 。再生
② 寻找最优方案的“折纸法”
根据黄金分割点的再生性，我们可以设计一种直观的优选法——“折纸法”。
仍以上边“在钢水中添加某种元素”的问题为例。
把两次试验结果比较，如果1618克的效果
较差，我们就把1618克以外的短的一段纸条剪
去（如果1382克的效果较差，就把1382克以外
的一段纸条剪去）。
再把剩下的纸条对折，纸条上剩下的那条
线落在下一层纸的地方，再划一条线（黄金
分割点），这条线在 1236克处。
按1236克做第三次试验，再和1382
克的试验效果比较，如果1236克的效果较
差，我们就把1236克以外的短的一段纸条
剪去。再对折剩下的纸条，找出第四次试
验点是1472克。
按1472克做试验后，与1382克的效
果比较，再剪去效果较差点以外的短的一
段纸条，再对折寻找下一次试验点，一次
比一次接近我们的需要，直到达到我们满
意的精确度。
注意，每次剪掉的都是效果较差点以外的短纸条，保留下的是效果较好的部分，而每次留下纸条的长度是上次长度的0.618倍。因此，纸条的长度按0.618的k次方倍逐次减小，以指数函数的速度迅速趋于0。所以，“0.618法”可以较快地找到满意的点。
事实上，当纸条长度已经很小时，纸条上的任一个点都可以作为“满意”的点了，因为最优点就在纸条上，你取的点与最优点的误差一定小于纸条的长。
0.618这个“黄金比”能产生“优选法”，这告诉我们，美的东西与有用的东西之间，常常是有联系的。
3． 最优化数学
生活和生产中提出了大量的优化问题，它们共同的追求目标是：最多、最快、最好、最省。这发展成一门“最优化数学”，包括规化论（线性规划、非线性规划、几何规划、整数规划、动态规划、多目标规则、随机规划等）、统筹学、实验设计（优选法、多因素正交实验法、分批实验法），组合最优化等等。
用导数的方法求极值是用连续的手段处理最优化问题，优选法“0.618法”则是用离散的手段处理最优化问题。
应当看到，提出和解决最优化问题，是数学应用到实践中去的一条经常的重要的途径。
我们以后将要做的“找次品”趣题，也是要最大限度地发挥天平的作用，用最少的次数找出次品来，也是一个最优化问题。
五、数学的统一美
数学中，“从不同的范畴，不同的途径，得到同一个结果”的情形是屡见不鲜的。
这反映了客观世界的多样性和统一性，也反映了数学的统一美。
黄金分割点0.618的得到，是一个能说明问题的例子
从不同途径导出黄金比
1． 黄金分割：线段的分割点满足
，这一比值正是 。
2． 斐波那契数列组成的分数数列
的极限正是 。
3． 方程 的正根是
4． 黄金矩形的宽长之比正是
5． 连分数 的值正是
6． 优选法的试验点，正是
我们看到了数学的统一美。
六、 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
1． 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子
问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，
13，…之后，并没有进一步探讨此序列，并且
在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没
想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世
纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活
跃起来，成为热门的研究课题。
有人比喻说，“有关斐波那契数列的论文，甚至比斐波那契的兔子增长得还快”，以致1963年成立了斐波那契协会，还出版了《斐波那契季刊》。
2． 斐波那契生平
斐波那契
（Fibonacci.L，1175—1250）
出生于意大利的比萨。他小时候就 对算术很有兴趣。后来，他父亲带他旅行到埃及、叙利亚、希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他又接触到东方国家的数学。斐波那契确信印度—阿拉伯计算方法在实用上的优越性。1202年，在回到家里不久，他发表了著名的《算盘书》。
斐波那契的才能受到弗里德里希二世
的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞
赛。他还曾向官吏和市民讲授计算方法。
他的最重要的成果在不定分析和数论
方面，除了《算盘书》外，保存下来的还
有《实用几何》等四部著作。
3． 自然界中的斐波那契数
斐波那契数列中的任一个数，都叫斐
波那契数。斐波那契数是大自然的一个基
本模式，它出现在许多场合。
下面举几个例子。
1） 花瓣数中的斐波那契数
大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。例如，兰花、茉利花、百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣。
花瓣中的斐波那契数
花瓣的数目
花瓣中的斐波那契数
花瓣的数目
2）树杈的数目
3）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数
向日葵花盘内，种子是按对数螺线排
列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。
松果种子的排列
松果种子的排列
松果种子的排列
菜花表面排列的螺线数（5-8）
这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的解释直到1993年才给出。这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角——137.50776度；这使种子的堆集效率达到最高。
4）斐波那契数与音乐
4． 科学中的斐波那契数列
1） 电路中的斐波那契数列
如下图那样专门设计的电路， 表示的都是1欧姆的电阻，最后一个分支中的电流为1安培，则加在电阻上的电压（从右至左）恰好是斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…
加在电阻上的电压，从右至左，恰是斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，13，21，…………
2） 通过面对面的玻璃板的斜光线的 不同路线条数
反射次数为0的光线以唯一的一种路线通过玻璃板；
反射次数为1的光线可以以2种路线通过玻璃板；
反射次数为2的光线可以以3种路线通过玻璃板；
反射次数为3的光线可以以5种路线通过玻璃板；
反射次数为的光线可以以种路线通过玻璃板；
3） 股票指数增减的“波浪理论”
① 完整周期3上2下（或5上3下或3
上5下），常是相继两斐波那契数；
② 每次股指增长幅度（8，13等）或
回调幅度（8，5），常是相继两斐波那契
数。
股指变化有无规律？回答是肯定的。
1934年美国经济学家艾略特在通过大量资料分析、研究后，发现了股指增减的微妙规律，并提出了颇有影响的“波浪理论”。该理论认为：股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图（股指变化的图象）上的5（或8）个波组成，其中3上2下（或5上3下），如图，无论从小波还是从大波波形上看，均如此。
注意这儿的2、3、5、8均系斐波那契数列中的数。
同时，每次股指的增长幅度常循斐波
那契数列中数字规律完成。比如：如果某
日股指上升8点，则股指下一次攀升点数
为13；若股指回调，其幅度应在5点左
右。显然，5、8、13为斐氏数列的相邻三
项。
可以说，斐波那契以他的兔子问题，
猜中了大自然的奥秘，而斐波那契数列的
种种应用，是这个奥秘的不同体现。妙哉
数学！
5． 推广的斐波那契数列 — 卢卡斯数列
1） 卢卡斯数列
卢卡斯（Lucas，F.E.A. 1824-1891）
构造了一类更值得研究的数列，现被
称为“推广的斐波那契数列”，
即从任何两个正整数开始，往后的每
一个数是其前两个数之和，由此构成无穷
数列。此即，二阶递推公式
中，递推式与前面一样，而起始整数
可任取。
斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…
是这类数列中最简单的一个，起始整数
分别取为1、1。
次简单的为1，3，4，7，11，18，…
现称之为卢卡斯数列。
卢卡斯数列的通项公式是
推广的斐波那契数列与斐波那契数列
一样，与黄金分割有密切的联系：该数列
相邻两数之比，交替地大于或小于黄金
比；并且，两数之比的差随项数的增加而
越来越小，趋近于0，从而这个比存在极
限；而且这个比的极限也是黄金比 。
类似于前面提到的数列
其极限也是
2） 用斐波那契数列及其推广变魔术
① 让观众从你写出的斐波那契数列中任意选定连续的十个数，你能很快说出这些数的和。
其实有公式：这个和，就是所选出的十个数中第七个数的11倍。
1
1
2
3
5
8
13
21
34
“十秒钟加数”的秘密
数学家发现：连续 10个斐波那契数之和，必定等于第 7个数的 11 倍！
“十秒钟加数”的秘密
又例如：
② 让观众从你写出推广的斐波那契数列中任何地方划一条线，你能迅速说出“这条线之前所有各数”的和。
其实有公式：前 项和 =
表示卢卡斯数列的第 项。
(请大家课下自己制作)
6． 斐波那契数列的一些更深刻的性质
1） 通项公式
一个正整数序列的通项，竟然可以用带有无理数
的式子表达，这是十分意外的结果。
该证明由法国数学家比内（Binet）做出。
[南开大学数学学院学生吴云辉、李明昱曾经在
“数学文化”课的读书报告中，给出了这一通项公式的
多个证明]
2） 斐波那契数列的后项除以前项做
成的分数数列 的极限为黄金
比的倒数
称为第二黄金比。
即有
本节结束
谢谢
[思] 请构造一个3阶递推公式。
答： 例如
斐波那契数列的有趣特性
数学家发现了许多斐波那契数列的特性。例如：
从斐波那契数列体味数学文化
要善于从生活中发现问题
解决问题，首先要明确概念，提炼其精髓
采取合适的方法（如列表）是关键
善于总结，从而得出一般规律（这里，建立了二阶递推公式）
斐波那契(L.Fibonacci，1170-1250）
2） 列表解题
① 分析、抓住本质、简化。
题中本质上有两类兔子：一类是能生
殖的兔子，简称为大兔子；新生的兔子不
能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就
长成大兔子。求的是大兔子与小兔子的总
和。
2） 深入观察规律
① 每月小兔对数=上月大兔对数。
② 每月大兔对数等于上个月大兔对数
与小兔对数之和。
综合①②两点，我们就有：每月大兔
对数等于前两个月大兔对数之和。
列表观察，不仅解答了问题，而且找
到了规律。
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